第一章三角形的证明第4课时：等边三角形判定及相关性质

<{股票配资}>第一章三角形的证明第4课时：等边三角形判定及相关性质

1.1 等腰三角形第一章 三角形的证明 第4课时 等边三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质 学习目标1.能用所学的知识证明等边三角形的判定定理.(重点)2.掌握含30°角的直角三角形的性质并解决有关问题.(难点)导入新课导入新课观察与思考观察下面图片，说说它们都是由什么图形组成的？思考：上节课我们学习了等腰三角形的判定定理第一章三角形的证明第4课时：等边三角形判定及相关性质，那等边三角形的判定定理是什么呢？一个三角形满足什么条件就是等边三角形? 由等腰三角形的判定定理，可得等边三角形的两个判定定理：1.三个角都相等的三角形是等边三角形；2.有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.你能证明这些定理吗？等边三角形的判定一讲授新课讲授新课ABC已知：如图，∠A= ∠ B=∠C.求证： AB=AC=BC.∵ ∠A= ∠ B,∴ AC=BC.∵ ∠ B=∠C,∴ AB=AC.∴AB=AC=BC.证明：定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.ABC已知： 若AB=AC , ∠A= 60°.求证： AB=AC=BC.证明：∵AB=AC , ∠A= 60 °.∴∠B＝∠C＝(180－∠A)= 60°.∴∠A= ∠ B=∠C.∴AB=AC=BC.证明完整吗？是不是还有另一种情形呢？证明:∵AB=AC,∠B=60°(已知),∴∠C=∠B=60°(等边对等角)，∴∠A=60°(三角形内角和定理)．∴∠A=∠B =∠C=60°． ∴ABC是等边三角形(三个角都相等的三角形是等边三角形).已知:如图,在ABC中，AB=AC,∠B=60°．求证:ABC是等边三角形．第二种情况：有一个底角是60°.ACB60°【验证】等腰三角形(含等边三角形)性质判定的条件等边对等角等角对等边“三线合一”,即等腰三角形顶角平分线，底边上的中线、高线互相重合有一角是60°的等腰三角形是等边三角形等边三角形三个内角都相等，且每个角都是60°三个角都相等的三角形是等边三角形归纳总结例1 如图,在等边三角形ABC中，DE∥∥BC, 求证：ADE是等边三角形.ACBDE证明： ∵ ABC是等边三角形，∴ ∠∠A= ∠∠B= ∠∠C.∵ DE//BC,∴ ∠∠ADE= ∠∠B, ∠∠ AED= ∠∠C.∴ ∠∠A= ∠∠ADE= ∠∠ AED.∴ ADE是等边三角形.想一想：本题还有其他证法吗？典例精析变式：上题中,若将条件DE∥∥BC改为AD=AE, ADE还是等边三角形吗?试说明理由.ACBDE 如图,在等边三角形ABC中，AD=AE, 求证：ADE是等边三角形.证明： ∵ ABC是等边三角形，∴ ∠∠A= ∠∠B= ∠∠C=60°.∵ AD=AE,∴ ADE是等腰三角形是等腰三角形 ∴ ADE是等边三角形. 又∵ ∠∠A=60°.含30°角的直角三角形的性质二操作:用两个含有30°角的三角板，你能拼成一个怎样的三角形？3030°°3030°°你能说出所拼成的三角形的形状吗？猜想：在直角三角形中, 30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？3030°°3030°°3030°°3030°°3030°°合作探究结论结论: :在直角三角形中在直角三角形中, 30, 30°°角所对的直角边等于斜边的角所对的直角边等于斜边的一半一半. .已知:如图,在ABC中,∠ACB=90°，∠A=30°.求证:BC= AB.A30°BC分析：突破如何证明“线段的倍、分”问题转 化“线段相等”问题猜想验证30° 30° ∵ ∠ACB=90°, (已知) ∴∠ACD=90°，(平角意义)在ABC与ADC中等腰三角形证明， BC=DC，（作图）　∠ACB=∠ACD，（已证）AC=AC，（公共边） ∴ABC≌ADC（SAS） ， ∴ AD=AB； ∵∠ACB=90°,∠BAC=30°，(已知) ∴∠B=60°， ∴ABD是等边三角形，(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形) ∴BC= BD= AB． (等式性质)30°ABCD证明: 延长BC至D,使CD=BC,连接AD，定理:在直角三角形中, 如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半．几何语言：在ABC中,∵∠ACB=90°,∠A=30°．∴BC= AB．(在直角三角形中, 30°角所对的直角边等于斜边的一半)ABC30°推论：归纳总结CBAD例2 如图，在ABC中，已知AB=AC=2a,∠B=∠ACB=15°, CD是腰AB上的高，求CD的长.解：∵∠B=∠ACB=15°，(已知) ∴∠DAC=∠B+∠ACB= 15°+15°=30°， ∵∠ADC=90°，∴CD=AC=a．（在直角三角形中, 如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半）例3 已知:如图,在ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB于D．求证:BD=°证明：∵∠A=30°，CD⊥AB，∠ACB=90°∴BC=∠B=60°．∴∠BCD=30°， ∴BD=∴BD= 1.已知ABC中，∠A=∠B=60°，AB=3cm，则ABC的周长为.9当堂练习当堂练习2.在ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AB＝3．则AC=_____;BC=．°63. 已知：如图，AB=BC等腰三角形证明，∠CDE= 120°， DF∥BA，且DF平分∠CDE.求证：ABC是等边三角形.证明:∵ AB=BC，∴ABC是等边三角形.又∵∠CDE=120°，DF平分∠CDE.∴ ∠FDC=∠ABC=60°，∴ ABC是等腰三角形，∴ ∠EDF=∠FDC=60°，又∵DF∥BA，证明：延长BC至D第一章三角形的证明第4课时：等边三角形判定及相关性质，使CD=BC，连接AD.∵∠ACB=90°，∴∠ACD=90°．又∵AC=AC．∴ACB≌ACD(SAS)．∴AB=AD．∵CD=BC，∴BC=　BD．又∵BC= 　AB，∴AB=BD．∴AB=AD=BD，即ABD是等边三角形．∴∠B=60°．在RtABC中，∠BAC=30°．4．已知：在RtABC中，∠C=90°, BC= AB．求证：∠BAC=30°．CBAD课堂小结课堂小结1.等边三角形的判定:有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．三个角都相等的三角形是等边三角形．2.特殊的直角三角形的性质:在直角三角形中, 如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半．在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．3.数学方法：分类的思想．。